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\(5972000000000000000000000\) – Versuche einmal, diese große Zahl zu lesen. Das ist die Masse der Erde in Kilogramm (Abb. 1). In Tonnen umgerechnet wiegt die Erde ungefähr \(5,972\) Trilliarden Tonnen. In einem Wassertropfen befinden sich ungefähr \(1500000000000000000000\) Wasser-Moleküle. Das sind \(1,5\) Trilliarden Wasser-Moleküle. In unterschiedlichen Bereichen der Chemie hast du mit besonders großen Zahlen zu tun. Es kann aber auch sein, dass du dich mit besonders kleinen Zahlen beschäftigst. Ein Atom hat nämlich einen Durchmesser von ungefähr \(\ce{0,0000000001\,m}\).
Um besonders große und kleine Zahlen einfacher darzustellen, kannst du die Potenzschreibeweise als Vereinfachung verwenden. Was genau das ist und wie du diese Schreibweise anwendest, erklären wir dir in diesem Artikel.
Eine Zahl wird mehrfach mit sich selbst multipliziert
CC-BY-NC 4.0 / Joachim Herz Stiftung
Wenn du eine Zahl potenzierst, bedeutet das, dass du diese Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizierst. Die Basis ist diejenige Zahl, die du mit sich selbst multiplizierst (Abb. 2). Der Exponent zeigt dir, wie oft du die Zahl mit sich selbst multipliziert. In dem Beispiel von Abbildung 2 multiplizierst du \(3\)-mal die Zahl \(2\) mit sich selbst:
\(2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\)
Als Ergebnis erhältst du \(8\). Das ist der Potenzwert.
Besonders große Zahlen mit positivem Exponenten darstellen
Um die besonders großen Zahlen darzustellen, verwendest du die Zehnerpotenzen. Bei den Zehnerpotenzen ist die \(10\) immer die Basis, die beliebig oft mit sich selbst multipliziert wird. Beispielsweise stellt die Schreibweise \({10^5}\) die Rechnung \({10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}\) dar (Abb. 3). Die Zahl \(10\) multiplizierst du also \(5\)-mal mit sich selbst. Dabei ist die Zahl \(10\) die Basis, die Zahl \(5\) ist der Exponent und das Ergebnis \(100000\) ist der Potenzwert. Zusammen bezeichnest du \({10^5}\) als Potenz. Da die Zahl \({10}\) die Basis bildet, nennen wir solche Potenzen "Zehnerpotenzen".
CC-BY-NC 4.0 / Joachim Herz Stiftung
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Anwendungsbeispiel für besonders große Zahlen
Du kannst den Durchmesser der Erde mit \(\ce{12700\,km}\) angeben. Du kannst aber auch \(127 \cdot 10^{2}\,\rm{km}\) schreiben, denn \(127 \cdot 100 = 12700\).
Wie du am Anfang erfahren hast, befinden sich in einem Wassertropfen (Abb. 4) ungefähr \(1500000000000000000000\) Wasser-Moleküle. Wenn du diese Anzahl übersichtlicher darstellen möchtest, schreibst du \(15 \cdot 10^{20}\). Schaue dir gerne den Tipp an, um zu erfahren, wie du ohne zu rechnen Zahlen als Potenzen darstellen und umwandeln kannst.
Du kannst Zehnerpotenzen auch ohne Rechnen darstellen.
A) \(10^{3}\) ist eine \(1\) mit drei Nullen angehängt (\(1000\)). Wie viele Nullen du an die \(1\) anhängen musst, zeigt dir der Zahlenwert des Exponenten.
B) Multiplizierst du eine Zahl (z.B. \(6,3\)) mit einer Zehnerpotenz (z.B. \( \ce 10^{3} \)), verschiebst du das Komma um den Zahlenwert des Exponenten nach rechts. Denke dir dabei auch weitere Nullen nach dem Komma, also \(6,300 \cdot 10^{3} = 6300\).
C) Wenn du eine große Zahl als Potenz umschreiben möchtest, verschiebst du das Komma – welches du dir am Ende der Zahl vorstellst – um so viele Stellen nach links, wie der Zahlenwert des Exponenten ist. Wenn du bei der Zahl \(832000000,\) das Komma um \(8\) Stellen nach links schiebst, bekommst du den Exponenten der Zehnerpotenz. Du schreibst also \(832000000=8,32 \cdot 10^{8}\).
Besonders kleine Zahlen mit negativem Exponenten darstellen
Wenn du eine besonders kleine Zahl darstellen möchtest, verwendest du Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten (Abb. 5). Obwohl der Exponent negativ ist, entsteht ein positives Ergebnis. Während ein positiver Exponent für die wiederholte Multiplikation der Basis steht, verbirgt sich hinter einem negativen Exponenten eine Kurzschreibweise für die Division von \(1\) und der wiederholen Multiplikation der Basis. Beispielsweise stellt die Schreibweise \(10^{-5}\) die Rechnung \({\frac {1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}}\) dar (Abb. 5). Du teilst die \(1\) durch die Zahl \(10\) \(5\)-mal mit sich selbst multipliziert. Das ist das gleiche wie \({\frac {1}{100 000}}\).
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Anwendungsbeispiel für besonders kleine Zahlen
Ein Reagenzglas wiegt \(\ce{0,021\,kg}\) (Abb. 6). Für diese Zahl kannst du auch \(\frac{2,1}{100}\) schreiben. Wie du vielleicht weißt, ist \(100=10\cdot10\) und \(10\cdot10=10^{2}\). Du kannst also auch für die Zahl \(100\) im Bruch \(\frac{2,1}{100}\) vereinfacht \(\frac{2,1}{10^{2}}\) schreiben. Dann hat der Exponent ein positives Vorzeichen. Die kleine Zahl \(\ce{0,021\,kg}\) lässt sich aber auch mit einem negativen Exponenten darstellen: \(\ce{0,021\,kg} = 2,1 \cdot 10^{-2}\).
Ein Atom hat einen Durchmesser von ungefähr \(\ce{0,0000000001\,m}\). Hier teilst du \(\frac{1}{10000000000}\) oder vereinfacht \(\frac{1}{10^{10}}\). Oder du kannst mit dem negativen Exponenten auch schreiben: \(1 \cdot 10^{-10}\).
Du kannst auch negativ potenzieren ohne zu rechnen:
A) Die Zahl \(10^{-5}=0,00001\). Die 1 kommt bei dieser Zehnerpotenz an der fünften Stelle nach dem Komma.
B) Multiplizierst du eine Zahl (z.B. \(2,3\)) mit einer Zehnerpotenz mit einem negativen Exponenten (z.B. \(10^{-4}\)), verschiebst du das Komma um den Zahlenwert des Exponenten nach links. Bei dieser Multiplikation kommt die Einerstelle des ersten Faktors entsprechend der Zehnerpotenz an der vierten Stelle hinter dem Komma, also \(2,3 \cdot 10^{-4} = 0,00023\).
C) Wenn du eine kleine Zahl al Potenz schreiben möchtest, verschiebst du das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie der Zahlenwert des Exponenten ist. Wenn du bei der Zahl \(0,0000005\) das Komma um 7 Stellen nach rechts schiebst, bekommst du den Exponenten der Zehnerpotenz. Du schreibst also \(0,0000005=5 \cdot 10^{-7}\).
In diesem Video erklären wir dir noch einmal alles, was du zum Potenzieren wissen solltest (Abb. 7). Wie du merkst, brauchst du Potenzen auch für die Größen bei LEIFIphysik.
Hinweis
Um mit Potenzen sicher rechnen zu können, benötigst du ein paar Festlegungen und Regeln.
|
Festlegung |
Beispiel |
|---|---|
| \({a^0} =1 \) | \({10^0} =1 \) |
| \( {a^1} =a \) | \( {10^1} =10 \) |
| \({{a^{-5}} = \dfrac{{1}}{{a^5}}}\) | \({{10^{-5}} = \dfrac{{1}}{{10^5}}} \) |
| \(\dfrac{1}{a^{-5}} = {a^5} \) | \(\dfrac{1}{10^{-5}} = {10^5} \) |
Regel für die Multiplikation
Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, so kannst du die Exponenten addieren.
\( {a^5} \cdot {a^3} = {a^{5+3}} = {a^8}\)
Beispiel
\( {10^3} \cdot {10^{-2}} = {10^{3+(-2)}}= {10^1}\)
Regel für die Division
Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis dividierst, so kannst du die Exponenten subtrahieren.
\(\dfrac {a^6}{a^3} = {a^{6-3}} = {a^{3}}\)
Beispiel
\(\dfrac{10^2}{10^{-4}} = {10^{2-(-4)}} = {10^6}\)
In diesem Video erklären wir dir noch einmal, wie du mit Zehnerpotenzen rechnen kannst (Abb. 9).
Zusammenfassung
Die Potenzschreibweise ist ein Hilfsmittel um besonders große oder besonders kleine Zahlen vereinfacht darzustellen. So versteckt sich hinter der Schreibweise \({10^5}\) die Zahl \({10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}\). Mit einem negativen Exponenten kannst du besonders kleine Zahlen darstellen:
\({{10^{-5}} = \dfrac{{1}}{{10^5}} = \dfrac{{1}}{{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}}} = {0,00001} \).
Aufgabe
Aufgabe
Stelle die Zahl \({12\,000\,000}\) in der Zehnerpotenzschreibweise dar.